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Tabellen — Mathematik
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Vorsilben
----------------------------------------------------------
Potenz Vorsilbe Symbol Potenz Vorsilbe Symbol
------------------------ ------------------------
10^-1 Dezi d 10^1 Deka da
10^-2 Zenti c 10^2 Hekto h
10^-3 Milli m 10^3 Kilo k
10^-6 Mikro µ 10^6 Mega M
10^-9 Nano n 10^9 Giga G
10^-12 Piko p 10^12 Tera T
10^-15 Femto f 10^15 Peta P
10^-18 Atto a 10^18 Exa E
10^-21 Zepto z 10^21 Zetta Z
10^-24 Yocto y 10^24 Yotta Y
----------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
Zahl Name deutsch englisch
---------------------------------------------------------------------
10^18 1,000,000,000,000,000,000 1 Trillion quintillion
10^15 1,000,000,000,000,000 1 Billiarde quadrillion
10^12 1,000,000,000,000 1 Billion trillion
10^9 1,000,000,000 1 Milliarde billion
10^6 1,000,000 1 Million million
10^3 1,000 1 Tausend thousand
10^2 100 1 Hundert hundred
10^1 10 Zehn ten
10^0 1 Eins one
10^-1 0.1 1 Zehntel tenth
10^-2 0.01 1 Hundertstel hundredth
10^-3 0.001 1 Tausendstel thousandth
10^-6 0.000,001 1 Millionstel millionth
10^-9 0.000,000,001 1 Milliardstel billionth
10^-12 0.000,000,000,001 1 Billionstel trillionth
10^-15 0.000,000,000,000,001 1 Billiardstel quadrillionth
10^-18 0.000,000,000,000,000,001 1 Trillionstel quintillionth
---------------------------------------------------------------------
Prefixes for binary multiples
-------------------------------------------------------------
name abbr factor in colloquial computing usage SI size
-------------------------------------------------------------
kilo K 2^10 = 1,024 10^3
mega M 2^20 = 1,048,576 10^6
giga G 2^30 = 1,073,741,824 10^9
tera T 2^40 = 1,099,511,627,776 10^12
peta P 2^50 = 1,125,899,906,842,624 10^15
exa E 2^60 = 1,152,921,504,606,846,976 10^18
-------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------
Byte [ 8 bits ]
1 A single character
10 A single word
100 A telegram or a punched card
Kilobyte [ 10^3 bytes ]
1 A very short story
2 A typewritten page
10 An encyclopaedia page
50 A compressed document image page
100 A low-resolution photograph
200 A box of punched cards
Megabyte [ 10^6 bytes ]
1 A small novel OR a 3.5-inch floppy disk
2 A high-resolution photograph
5 The complete works of Shakespeare
10 A minute of high-fidelity sound
100 1 meter of shelved books
500 A CD-ROM
Gigabyte [ 10^9 bytes ]
1 A pickup truck filled with paper
2 1 movie on a Digital Video Disk (DVD)
50 A floor of books
100 A floor of academic journals
500 The biggest FTP site
Terabyte [ 10^12 bytes ]
1 50,000 trees made into paper and printed
OR daily rate of EOS data (1998)
2 An academic research library
10 The printed collection of the U.S. Library of Congress
50 The contents of a large mass storage system
400 National Climatic Data Center (NOAA) database
Petabyte [ 10^15 bytes ]
1 3 years of Earth Observing System (EOS) data (2001)
2 All U.S. academic research libraries
8 All information available on the Web
200 All printed material
Exabyte [ 10^18 bytes ]
2 Total volume of information generated worldwide annually
5 All words ever spoken by human beings
--------------------------------------------------------------------
;; How Much Information? University of California at Berkeley, 2000.
Formeln der Geometrie
------------------------------------------------------------------
Kreis...... Umfang: U=2\pi r Fläche: A=\pi r^2
Kugel...... Oberfläche: A_O=4\pi r^2 Volumen: V=4/3\pi r^3
n
Hypersphere sum x_i^2 = r^2 mit Radius r im IR^n:
i=1
n/2 n n/2
n-1 \pi 2r \pi
Oberfläche = 2r ---------- Volumen = --- ----------
Gamma(n/2) n Gamma(n/2)
mit der Eulerschen Gammafunktion:
Gamma(n+1) = n!,
(2n)! ____
Gamma(n+1/2) = ------ \/\pi für n = 0,1,2,...
4^n n!
Oberfläche und Volumen
der Einheitskugel:
-----------------------
n O V
-----------------------
2 6.283 3.142
3 12.566 4.189
4 19.739 4.935
5 26.319 5.264*
6 31.006 5.168 Die Oberfläche wird für n=7,
7 33.073* 4.725 das Volumen für n=5 maximal.
8 32.470 4.059 Für n->oo konvergieren Ober-
9 29.687 3.299 fläche und Volumen gegen 0.
10 25.502 2.550
11 20.725 1.884
12 16.023 1.335
13 11.838 0.910
14 8.390 0.599
15 5.722 0.381
-----------------------
------------------------------------------------------------------
Kegelschnitte
-------------------------------------------------------------------
Unter einem Kegelschnitt versteht man den geometrischen Ort aller
Punkte P, für die das Verhältnis der Abstände zu einem gegebenen
Punkt (Brennpunkt) und zu einer gegebenen Geraden (Leitlinie) den
konstanten Wert e (numerische Exzentrität) besitzt.
e > 1: Hyperbel,
e = 1: Parabel,
e < 1: Ellipse,
e = 0: Kreis.
x^2 + y^2 = e^2 (d+x)^2
(d = Abstand des Brennpunktes von der Leitlinie)
Allgemeine Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten:
f(x,y) = A x^2 + 2B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0
oder
( A B )
a^t X a + Y a + F = 0 mit X=( ), Y=(D, E), a=(x, y).
( B C )
Scheitelgleichung der Kegelschnitte:
2
Parabel: y = 2px (p = Halbparameter = 2 * Brennweite f)
2 p 2
Ellipse: y = 2px - - x
a
2 p 2
Hyperbel: y = 2px + - x
a
Zusammenfassung zu einer Scheitelgleichung:
2 2 2
y = 2px + (e -1)x (p = const)
-------------------------------------------------------------------
Platonische Körper
(reguläre konvexe Polyeder)
----------------------------------------
E K F
----------------------------------------
Tetrader 4 6 4
Hexaeder 8 12 6
Oktaeder 6 12 8
Dodekaeder 20 30 12
Ikosaeder 12 30 20
----------------------------------------
Eulersche Polyederformel: E - K + F = 2
(gilt für alle einfachen Polyeder)
Polyederformel gilt für alle Polyeder, die sich topologisch in eine
Kugel transformieren lassen. Gilt für eine geschlossene Fläche
E - K + F = 2 - 2g,
so ist die Fläche äquivalent zur Sphäre einer Kugel mit g Henkeln.
Primzahlen
----------------------------------------------------------------------
Brunscher Witz (Viggo Brun, 1919):
Die Reihe sum(1/p + 1/(p+2)) der Reziproken der Primzahlzwillinge
besitzt eine endliche Summe (~1.902160548). Es ist nicht bekannt,
ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Fermatzahlen (Pierre de Fermat, 1640):
Fermat behauptete, alle Zahlen der Form F_n=2^(2^n)+1 seien
Primzahlen. Euler zeigte 1732, dass F_5 den Teiler 641 hat. Die
ersten fünf Fermatzahlen F_0 bis F_4: 3, 5, 17, 257, 65537.
Ein regelmäßiges n-Eck läßt sich genau dann mit Zirkel und Lineal
konstruieren, wenn die ungeraden Primfaktoren von n voneinander
verschiedene Fermat-Primzahlen sind.
Goldbachvermutung (Christian Goldbach [1690--1764], 1742):
Jede gerade Zahl >2 läßt sich als Summe zweier Primzahlen
darstellen.
Kleiner Fermatscher Satz:
Die Primzahl p teilt a^p-a für alle natürlichen Zahlen a. Eine
Zahl n, die für irgendein a ein Teiler von a^n-a, jedoch keine
Primzahl ist, heißt Pseudoprimzahl bezüglich a.
Lucas-Lehmer-Test:
Um eine Zahl p=2^q-1 auf ihre Primzahleigenschaft zu testen, ist
folgender Algorithmus anwendbar:
1) x(0) := 4
2) for n := 1 to q-2:
x(n) := x(n-1)^2 - 2 (mod p)
p ist genau dann prim, wenn x(q-2) (mod p) = 0.
Mersennesche Primzahlen (Marin Mersenne [1588--1648]):
Primzahlen der Form 2^n-1. Notwendig für die Primzahleigenschaft
ist, dass der Exponent n selbst eine Primzahl ist. Bis 1992 wurden
32 Mersennesche Primzahlen entdeckt, nämlich für
n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607,
1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937,
21071, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839.
Stand Juni 2004:
--------------------------------------------------------------
n Jahr Finder
--------------------------------------------------------------
M_33 859,433 1994 Slowinski & Gage
M_34 1,257,787 1996 Slowinski & Gage
M_35 1,398,269 1996 Armengaud, Woltman et al. (GIMPS)
M_36 2,976,221 1997 Spence, Woltman et al. (GIMPS)
M_37 3,021,377 1998 Clarkson, Woltman, Kurowski
et al. (GIMPS, PrimeNet)
M_38 6,972,593 1999 Hajratwala, Woltman, Kurowski
et al. (GIMPS, PrimeNet)
M_39 13,466,917 2001 Cameron, Woltman, Kurowski
et al. (GIMPS, PrimeNet)
M_40 20,996,011 2003 Shafer, Woltman, Kurowski
et al. (GIMPS, PrimeNet)
M_41 24,036,583 2004 Findley, Woltman, Kurowski
et al. (GIMPS, PrimeNet)
--------------------------------------------------------------
GIMPS = Great Internet Mersenne Prime Search
Mirpzahlen:
Primzahlen, deren Spiegelzahlen wieder Primzahlen sind. Beispiele:
(13,31), (17,71), (37,73). Die Ziffern von 193939 kann man zyklisch
vertauschen, ohne dass die Primzahleigenschaft verloren geht.
Primzahlsatz:
Wenn \pi(n) die Anzahl der Primzahlen bezeichnet, die nicht
größer sind als n, so ist \pi(n) ungefähr gleich n*n/log, wobei
die Approximation desto genauer wird, je größer n ist.
Primzahlzwillinge:
Zwei Primzahlen, die nur durch eine gerade Zahl getrennt sind.
Rekord: 1706595 * 2^11235 ± 1 (Parady 1989, 3389 Stellen).
Prothsche Primzahlen:
Primzahlen der Form k * 2^n + 1. Größte bekannte Prothsche
Primzahl: 3 * 2^916773 + 1 mit 275 977 Stellen (2001 von John
Cosgrave gefunden).
Repetiton Units:
Primzahlen aus einer Folge von Einerziffern. Notwendige Bedingung
ist, dass die Stellenzahl selbst eine Primzahl ist. Bisher sind
fünf solcher Zahlen bekannt:
R_2 = 11,
R_19 = 1 111 111 111 111 111 111,
R_23 = 11 111 111 111 111 111 111 111,
R_317 (Williams 1978),
R_1031 (Williams/Dubner 1985).
Vollkommene Zahlen:
Eine Zahl heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer echten
Teiler ist. Bsp.: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Satz von Euklid-
Euler: Eine gerade Zahl n ist genau dann vollkommen, wenn n die
Form n = (2^p-1)2^(p-1) hat und 2^p-1 eine Primzahl ist. Es ist
nicht bekannt, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt. Rechnungen
am Computer zeigten, das keine ungerade vollkommene Zahl unterhalb
von 10^300 existiert (Stand: 2002).
Wilsonscher Satz (John Wilson):
(n-1)!+1 ist genau dann durch n teilbar, wenn n eine Primzahl ist.
......................................................................
"Interessante" Primzahlen:
- 1234567891, 23456789
- 909 090 909 090 909 090 909 090 909 091
- 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331
- 739397 ist die größte bekannte zweiseitige Primzahl. Man kann
vorne und hinten beliebig viele Ziffern weglassen, der Rest ist
stets wieder eine Primzahl.
- 357 686 312 646 216 567 629 137 ist die größte bekannte Primzahl
mit der Eigenschaft, dass man vorne eine Ziffer nach der anderen
wegnehmen kann und dabei eine Folge erhält, die nur aus
Primzahlen besteht.
......................................................................
Polynome, die Primzahlen liefern:
n im Bereich
f(n) = 2 n^2 + 11 [0, 10]
f(n) = 2 n^2 + 29 [0, 28]
f(n) = n^2 - n + 41 [0, 40]
f(n) = n^2 - 79 n + 1601 [0, 79]
......................................................................
Magische Quadrate und Primzahlen:
+ + + +
0 9 2 Alle Summen 5 17 29 Das kleinste mag.
1 7 5 ergeben eine 47 59 71 Quadrat, das nur aus
4 3 6 Primzahl. 89 101 113 Primzahlen besteht.
+ + + +
+ +
+ + 3 61 19 37 Magische Quadrate aus
67 1 43 43 31 5 41 Primzahlen, die 1970
13 37 61 7 11 73 29 von E. Dudeney
31 73 7 67 17 23 13 entdeckt wurden.
+ + + +
+ + + +
281 409 311 419 283 Magische Quadrate aus 37 83 97 41
aufeinander folgenden
359 379 349 347 269 Primzahlen. Magische 53 61 71 73
Summe: 1703 (5×5) bzw.
313 307 389 293 401 258 (4×4). 89 67 59 43
397 331 337 271 367 79 47 31 101
+ +
353 277 317 373 383
+ +
+ +
1480028159 1480028153 1480028201 Ein magisches Quadrat,
das aus aufeinander
1480028213 1480028171 1480028129 folgenden Primzahlen
besteht. Entdeckt von
1480028141 1480028189 1480028183 Harry Nelson, 1988.
+ +
+ +
+ + 1 3 9 3 3 Hier sind jeweils
9 1 3 3 Mirpzahlen so ein-
1 3 4 5 7 getragen, dass jede
1 5 8 3 Zeile, Spalte und
7 6 4 0 3 Diagonale vorwärts
7 5 2 9 und rückwärts ge-
7 4 8 9 7 lesen eine Primzahl
3 9 1 1 darstellt.
+ + 7 1 3 9 9
+ +
+ + + +
29 1061 179 227 31 1063 181 229
269 137 1019 71 271 139 1021 73
1049 101 239 107 1051 103 241 109
149 197 59 1091 151 199 61 1093
+ + + +
Dieses Paar magischer Quadrate wurde von Leo Moser (Universität
in Edmonton) konstruiert. Es hat die Eigenschaft, dass in ent-
sprechenden Feldern immer Primzahlzwillinge stehen. Zusätzlich
ergibt die Summe der Zahlen in den 2×2-Teilquadraten die jeweils
magische Summe 1496 bzw. 1504.
+ +
3 107 5 131 109 311 "apokalyptisches" mag. Quadrat,
gefunden von A.W. Johnson
7 331 193 11 83 41
- alle Einträge sind Primzahlen
103 53 71 89 151 199 - die Summe jeder Reihe, Spalte,
Diagonalen und jeder gebroche-
113 61 97 197 167 31 nen Diagonalen beträgt 666
367 13 173 59 17 37
73 101 127 179 139 47
+ +
+ +
1153 8923 1093 9127 1327 9277 1063 9133 9661 1693 991 8887 8353
9967 8161 3253 2857 6823 2143 4447 8821 8713 8317 3001 3271 907
1831 8167 4093 7561 3631 3457 7573 3907 7411 3967 7333 2707 9043
+ +
9907 7687 7237 6367 4597 4723 6577 4513 4831 6451 3637 3187 967
1723 7753 2347 4603 5527 4993 5641 6073 4951 6271 8527 3121 9151
+ +
9421 2293 6763 4663 4657 9007 1861 5443 6217 6211 4111 8581 1453
2011 2683 6871 6547 5227 1873 5437 9001 5647 4327 4003 8191 8863
9403 8761 3877 4783 5851 5431 9013 1867 5023 6091 6997 2113 1471
+ +
1531 2137 7177 6673 5923 5881 5233 4801 5347 4201 3697 8737 9343
9643 2251 7027 4423 6277 6151 4297 6361 6043 4507 3847 6623 1231
+ +
1783 2311 3541 3313 7243 7417 3301 6967 3463 6907 6781 8563 9091
9787 7603 7621 8017 4051 8731 6427 2053 2161 2557 7873 2713 1087
2521 1951 9781 1747 9547 1597 9811 1741 1213 9181 9883 1987 9721
+ +
Den Weltrekord im Bau von magischen Quadraten aus Primzahlen hält
wohl ein amerikanischer Gefangener, der ~1960 seine Zeit damit
verbrachte: Sechs ineinandergeschachtelte magische Quadrate ange-
fangen mit der Reihensumme 16311 (3×3) bis zu einem 13×13-Quadrat
mit den Konstanten 70681. Jedes Mal steigt die Reihensumme um
10874.
----------------------------------------------------------------------
Magische Quadrate
----------------------------------------------------------------------
DEF.: Ein /magisches Quadrat/ besteht aus natürlichen Zahlen, die so
in Form eines Quadrats angeordnet sind, dass alle Zeilen, Spalten
und die beiden Diagonalen die gleiche Summe ergeben.
Durchlaufen die Zahlen die Werte von 1 bis n^2, so ist das Quadrat
von n-ter Ordnung. Die magische Summe beträgt dann n(n^2+1)/2.
+ +
16 3 2 13 Magisches Quadrat in Dürers
Stich "Melencolia I", 1514.
5 10 11 8
- magische Summe: 34
9 6 7 12 - Summe der Eckpositionen: 34
- Summe des zentralen Quadrats: 34
4 15 14 1 - Summe der restlichen Zahlen: 68=2*34
+ +
+ +
63 22 15 40 1 42 59 18 Springerkreis und magisches
Quadrat von C.F. de Jaenisch,
14 39 64 21 60 17 2 43 Ende 19. Jahrhundert.
37 62 23 16 41 4 19 58 Springerkreise sind Zugfolgen
des Springers auf dem Schach-
24 13 38 61 20 57 44 3 brett, mit denen er jedes Feld
genau einmal erreicht und zum
11 36 25 52 29 46 5 56 Ausgangspunkt zurückkehrt.
26 51 12 33 8 55 30 45 Ordnung: 8
35 10 49 28 53 32 47 6
50 27 34 9 48 7 54 31
+ +
+ +
46 57 68 70 81 02 13 24 35 99 Magisches Quadrat aus
den Zahlen 0--99.
71 94 37 65 12 40 29 06 88 53
Ordnung: 10
93 26 54 01 38 19 85 77 60 42
15 43 80 27 09 74 66 58 92 31
32 78 16 89 63 55 47 91 04 20
67 05 79 52 44 36 90 83 21 18
84 69 41 33 25 98 72 10 56 07
59 30 22 14 97 61 08 45 73 86
28 11 03 96 50 87 34 62 49 75
00 82 95 48 76 23 51 39 17 64
+ +
alphamagische Quadrate:
erfunden 1986 von Lee Sallows, Universität von Nijmegen (Niederlande)
+----------+ +------------------------------------+ +----------+
| 5 22 18| | five twenty-two eighteen | | 4 9 8|
| | | | | |
|28 15 2| |twenty-eight fifteen two | |11 7 3|
| | | | | |
|12 8 25| | twelve eight twenty-five| | 6 5 10|
+----------+ +------------------------------------+ +----------+
----------> ----------->
Zahlwörter #Buchstaben
+ + mit deutschen
26 37 48 59 Zahlwörtern:
+ +
49 58 27 36 45 62 58
57 46 39 28 68 55 42
38 29 56 47 52 48 65
+ + + +
;; Ivars Peterson: Alphamagic Squares. MAA Online, July 7, 2003
Sudoku
Jede Lösung für ein Sudoko ist ein magisches Quadrat. Es gibt etwa
5.5 * 10^27 magische 9x9-Quadrate und etwa 6.7 * 10^21 Sudokus der
Ordnung 3 (= 9x9); bzw. 3.5 * 10^12, wenn man Symmetrien beachtet.
;; Brian Hayes: Unwed Numbers. American Scientist 94, 2006, 12--15.
----------------------------------------------------------------------
Pascalsches Dreieck
----------------------------------------------------------------------
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
andere Darstellung:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
k
n 0
1
0........................... 1 2
1......................... 1 1 3
2....................... 1 2 1 4
3..................... 1 3 3 1 5
4................... 1 4 6 4 1 6
5................. 1 5 10 10 5 1 7
6............... 1 6 15 20 15 6 1 8
7............. 1 7 21 35 35 21 7 1 9
8........... 1 8 28 56 70 56 28 8 1 10
9......... 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 12
10....... 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 13
11..... 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
12... 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
C(n,k) = n!/((n-k)!k!)
C(n,0) = C(n,n) = 1
C(n,k-1) + C(n,k) = C(n+1,k) für 1<=k<=n
C(n,k) = C(n,n-k) für 0<=k<=n
C(n,k) * C(n,n-k) = C(n,k)^2
C(n,0) + C(n,1)x + C(n,2)x^2 +...+ C(n,n)x^n =
sum(C(n,k)x^k, k=0..n) = (1+x)^n
speziell mit x=1:
C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) +...+ C(n,n) =
sum(C(n,k), k=0..n) = 2^n
C(n,0) - C(n,1) + C(n,2) -+...+ (-1)^n C(n,n) =
sum(C(n,k)(-1)^k, k=0..n) = 0
C(n,0)^2 + C(n,1)^2 + C(n,2)^2 +...+ C(n,n)^2 =
sum(C(n,k)^2, k=0..n) = C(2n,n)
C(n,0) + C(n+1,1) + C(n+2,2) +...+ C(n+k,k) = C(n+k+1,k)
Trigonalzahlen: C(n+1,2) = n(n+1)/2
Pyramidalzahlen: C(n+1,3) = n(n+1)(n+2)/6
----------------------------------------------------------------------
Leibniz' harmonisches Dreieck
----------------------------------------------------------------------
1/1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3
1/4 1/12 1/12 1/4
1/5 1/20 1/30 1/20 1/5
1/6 1/30 1/60 1/60 1/30 1/6
1/7 1/42 1/105 1/140 1/105 1/42 1/7
1/8 1/56 1/168 1/280 1/280 1/168 1/56 1/8
1/9 1/72 1/252 1/504 1/630 1/504 1/252 1/72 1/9
[ n ] 1 [ n ] [ n+1 ] [ n+1 ]
[ ] := ---, [ ] := [ ] + [ ], n=0,1,2,...; k=0,...,n
[ 0 ] n+1 [ k ] [ k ] [ k+1 ]
----------------------------------------------------------------------
Stirling-Zahlen
----------------------------------------------------------------------
Stirling-Zahlen erster Art s(n,k)
--------------------------------------------------------------------
\ k 1 2 3 4 5 6 7 8 n!
n \
--------------------------------------------------------------------
1 1 1
2 -1 1 2
3 2 -3 1 6
4 -6 11 -6 1 24
5 24 -50 35 -10 1 120
6 -120 274 -225 85 -15 1 720
7 720 -1764 1624 -735 175 -21 1 5040
8 -5040 13068 -13132 6769 -1960 322 -28 1 40320
--------------------------------------------------------------------
|s(n,k)| gibt die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge
mit k Zyklen an.
s(n+1,k) = s(n,k-1) - n*s(n,k)
s(n,n-1) = -C(n,2)
sum(|s(n,k)|, k=1..n) = n!
Stirling-Zahlen zweiter Art S(n,k)
------------------------------------------------------------------
\ k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n \
------------------------------------------------------------------
1 1
2 1 1
3 1 3 1
4 1 7 6 1
5 1 15 25 10 1
6 1 31 90 65 15 1
7 1 63 301 350 140 21 1
8 1 127 966 1701 1050 266 28 1
9 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1
10 1 511 9330 34105 42525 22827 5880 750 45 1
------------------------------------------------------------------
S(n,k) gibt die Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge
in k Blöcke an.
S(0,0) = 1, S(n,0) = 0 für n>0
S(n+1,k) = S(n,k-1) + k*S(n,k)
S(n,n-1) = C(n,2)
S(n+1,k) = sum(C(n,j)*S(j,k-1), j=0..n)
----------------------------------------------------------------------
Figurierte Zahlen (Figurate Numbers)
----------------------------------------------------------------------
* Dreieckzahlen (Triangular Numbers)
1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210,...
o
o o o
o o o o o o
o o o o o o o o o o
1 3 6 10
T(n) = n(n+1)/2 = sum(k, k=1..n)
2 2 3 3 2
T(n+1) - T(n) = (n+1) => sum(k , k=1..n) = T(n)
Die Summe der ersten n Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der n-ten
Dreieckszahl:
3 3 3 3 2
1 + 2 + 3 + ... + n = (1 + 2 + 3 + ... + n)
Jede Zahl läßt sich als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen
ausdrücken. (Gauß, Tagebucheintrag vom 10.07.1796)
Eine beliebig große Dreieckszahl läßt sich durch Hinzufügen von
Nullen zu 55 konstruieren: 55, 5050, 500500, 50005000, ...
Palindromische Dreieckszahlen (gefunden von Charles Trigg):
T(1,111) = 617,716
T(111,111) = 6,172,882,716
Generierende Funktion (generating function):
x 1 2 3 4 5
------- = 1x + 3x + 6x + 10x + 15x + ...
(1-x)^3
......................................................................
* Viereckzahlen (Square Numbers)
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,...
o o o o
o o o o o o o
o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o
1 4 9 16
Q(n) = n^2
......................................................................
* Fünfeckzahlen (Pentagonal Numbers)
1,5,12,22,35,51,70,92,117,145,176,210,247,287,330,376,425,477,...
o
o o
o o o o o
o o o o o o
o o o o o o o o o o
o o o o o o
o o o o o o o o o o
1 5 12 22
P(n) = n(3n-1)/2
___ oo
___ oo n \ n P(n)
Für q \in C und |q| < 1 gilt: | | (1-q ) = > (-1) q
| | n=1 /__ n=-oo
......................................................................
* Sechseckzahlen (Hexagonal Numbers)
1,6,15,28,45,66,91,120,153,190,231,276,325,378,435,496,561,630,...
o o o o
o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o
o o o o o o o o o o o
o o o o o o
o o o o o o o o o o
1 6 15 28
S(n) = n(2n-1)
......................................................................
* allgemeine Vieleckzahlen
V(n) = n/2*[2+(r-2)(n-1)] (r = Anzahl der Seiten des Vielecks)
----------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------
Befreundete Zahlen (amicable numbers)
Zwei Zahlen heißen befreundet, wenn die Summe der Teiler der
einen Zahl gleich der zweiten Zahl ist.
Paare befreundeter Zahlen (-> OEIS A063990):
{220, 284}, {1184, 1210}, {2620, 2924}, {5020, 5564},
{6232, 6368}, {10744, 10856}, {12285, 14595}, {17296, 18416},
{63020, 66928}, {66992, 67095}, {69615, 71145}, {76084, 79750},
{87633, 88730}, {100485, 122265}, {122368, 123152},
{124155, 139815}, {141664, 142310}
Thue-Morse-Folge
Jede natürliche Zahl n hat eine eindeutige Binärdarstellung
1 2 3 N
n = e0 + e1*2 + e2*2 + e3*2 + ... + eN*2
mit ek \in {0,1}. Sei s(n) die Quersumme. Dann heisst
s(n)
f(n) := (-1) , n = 0,1,2,...
die Thue-Morse-Folge.
Stirling-Formel
n _______
n! ~ (n/e) \/2*\pi*n für n -> oo
Geburtstags-Problem
r Personen befinden sich in einem Raum. Die Wahrscheinlichkeit,
dass keine zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, beträgt
P(n,r) n-1 n-2 n-r+1
------ = --- * --- * ... * -----
n^r n n n
wobei P(n,r) = n(n-1)(n-2)...(n-r+1) = n!/(n-r)! und n = 365.
------------- ------------- -------------
P(n,r) P(n,r) P(n,r)
r ------ r ------ r ------
n^r n^r n^r
------------- ------------- -------------
1 1.000 11 0.859 21 0.556
2 0.997 12 0.833 22 0.524
3 0.992 13 0.806 23 0.493
4 0.984 14 0.777 24 0.462
5 0.973 15 0.747 25 0.431
6 0.960 16 0.716 26 0.402
7 0.944 17 0.685 27 0.373
8 0.926 18 0.653 28 0.346
9 0.905 19 0.621 29 0.319
10 0.883 20 0.589 30 0.294
------------- ------------- -------------
"Monty Hall"-Problem
In einer Show stehen dem Kandidaten drei verschlossene Türen zur
Auswahl. Hinter einer befindet sich ein Preis, hinter den anderen
beiden nichts. Der Kandidat wählt eine Tür. Der Showmaster öffnet
darauf hin eine von den beiden verbleibenden Türen, hinter der
sich nichts befindet. Der Kandidat hat nun die Möglichkeit, seine
Wahl zu ändern und die noch verbleibende Tür zu wählen. Erhöht der
Kandidat seine Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn er die Wahl ändert?
----------------------------------------------------------------------
berühmte ungelöste mathematische Probleme
----------------------------------------------------------------------
Goldbachsche Vermutung
In einem Brief vom 7. Juni 1742 an Leonard Euler äußerte Christian
Goldbach die Vermutung, dass sich jede gerade ganze Zahl (größer
als Zwei) als Summe zweier Primzahlen schreiben lässt.
Die Vermutung ist für Zahlen bis 4*10^13 bestätigt (Stand 2002).
Beals Vermutung
Generalisiert Fermats Letzten Satz: Ist A^x+B^y=C^z, wobei A, B,
C, x, y und z positive ganze Zahlen sind und x, y und z größer
als 2, dann haben A, B und C einen gemeinsamen Faktor.
Kolakoski-Folge
s = 1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,2,2,1,1,2,
1,1,2,2,2,1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,2,1,1,2,...
Ein /Block/ von s ist eine maximal konstante Teilfolge. Bsp.:
Der erste Block <1> hat die Länge 1, der zweite Block <2,2> hat
die Länge 2, der dritte Block <1,1> hat die Länge 2. Die daraus
gebildete Folge der Blocklängen l = 1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,... ist
der Beginn der Folge s. Die Kolakoski-Folge ist die (eindeutige)
Folge s von Einsen und Zweien, beginnend mit 1, für welche die
Folge l der Blocklängen l = s erfüllt. (-> OEIS A000002)
a. Gibt es eine Formel für den n-ten Term von s?
b. Kommt ein String (z.B. 212211) in s vor, kommt er
dann nochmals vor?
c. Kommt ein String in s vor, kommt seine Umkehrung
ebenfalls vor? (z.B. 112212)
d. Kommt ein String in s vor und alle seine Einsen und
Zweien werden vertauscht, kommt dieser neue String
auch vor? (z.B. 121122)
e. Existiert der Limes der Häufigkeit von 1 und ist
gleich 0.5?
Collatz-Vermutung
1937 von Lothar Collatz aufgestellt. Sei
F(n) = | 3n+1 falls n ungerade,
| n/2 sonst.
3n+1-Vermutung: Für jede ganze Zahl n ergibt sich bei der
wiederholten Anwendung von F schließlich 1.
Die Vermutung ist für Zahlen bis 5.6*10^13 bestätigt (Stand 2002).
Ungerade vollkommene Zahlen
Gibt es ungerade vollkommene Zahlen? Eine Zahl heißt /vollkommen/,
wenn sie die Summe ihrer echten Teiler ist. Mit Computer-Hilfe
wurde gezeigt, dass es keine ungerade vollkommenen Zahlen
unterhalb von 10^300 gibt (Stand 2002).
Riemannsche Vermutung
Bernhard Riemann [1826--1866] erweiterte 1859 die von Euler als
___ oo
\ 1
z(s) = > --- für s > 1
/__ n=1 n^s
definierte Zeta-Funktion für alle komplexen Zahlen. Diese Funktion
hat die trivialen Nullstellen s = -2, -4, -6, ... Die übrigen,
nichttrivialen Nullstellen sind symmetrisch bzgl. der Linie
Re(s) = 1/2. Die Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nicht-
trivialen Nullstellen auf dieser Linie liegen, d.h. den reellen
Teil 1/2 haben.
Zwillingsprimzahlen
Eine Zwillingsprimzahl ist eine Zahl p derart, dass sowohl p-1
als auch p+1 Primzahlen sind. Vermutet wird, dass es unendlich
viele Zwillingsprimzahlen gibt.
Palindrom-Problem
Ein Palindrom ist eine Zahl, die rückwärts gelesen die gleiche
Zahl ergibt, z.B. 121. Betrachte folgenden Algorithmus:
Gegeben eine ganze Zahl n, sei ñ die Umkehrung der Ziffern von
n und F(n) = n + ñ. Iteriere den Prozess. Bsp.:
176 -> 176+671=847 -> 1595 -> 7546 -> 14003 -> 44044.
Das Palindrom-Problem: Gegeben eine ganze Zahl n, führt eine
Iteration von F zu einem Palindrom? Das Problem ist ungelöst
selbst für n = 196 (Stand 2002).
----------------------------------------------------------------------
;; Scott W. Williams: Million-Buck Problems. The Mathematical
;; Intelligencer 3(24), 2002, 17--20.
Spezielle Zahlen
----------------------------------------------------------------------
* Die Zahl Pi
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923...
babylonische Keilschrifttafel, zwischen 1900 und 1600 v.u.Z.
1
\pi ~= 3 - = 3.125 (1)
8
Ahmes-Rhind Papyrus, ca. 1650 v.u.Z.
2
\pi ~= (16/9) = 3.16049... (2)
Archimedes [~287--~212 v.u.Z.]
10 10
3.1408... = 3 -- < \pi < 3 -- = 3.1428... (3)
71 70
Klaudios Ptolemaois, ca. 150
17 _
\pi ~= 3 --- = 3.1416 (4)
120
Al-Kasi [1380--1429]
16 59 28 1
2\pi ~= 6 + ---- + ---- + ---- + ----
60^1 60^2 60^3 60^4
34 51 46 14 50
+ ---- + ---- + ---- + ---- + ---- (5)
60^5 60^6 60^7 60^8 60^9
(korrekt auf 16 Stellen)
Francois Viète [1540--1603], 1593
__________
______ / ______
__ / __ / / __
2 \/2 \/2+\/2 \/2+\/2+\/2
--- = ---- * --------- * -------------- ... (6)
\pi 2 2 2
John Wallis [1616--1701], 1650
\pi 2 * 2 * 4 * 4 * 6 * 6 ... ___oo 4n^2
--- = ------------------------- = | | ------ (7)
2 1 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7 ... | |n=1 4n^2-1
William Brouncker [1620--1684], 1656
4 1^2
--- = 1 + ----------------------- (8)
\pi 3^2
2 + -------------------
5^2
2 + ---------------
7^2
2 + -----------
9^2
2 + -------
2 + ...
Isaac Newton [1643--1727], 1665
___ oo
3 _ \ n (1/2) 1
\pi = - \/3 + 6 > (-1) ( ) ---------- (9)
4 /__ n=0 ( n ) (2n+3)*4^n
James Gregory [1637--1675?], 1671
Gottfried Wilhelm Leibniz [1646--1716], 1674
___ oo
\pi 1 1 1 1 \ (-1)^n
--- = - - - + - - - + - ... = > ------ (10)
4 1 3 5 7 /__ n=0 2n+1
John Machin [1680--1752], 1706
\pi = 16 arctan(1/5) - 4 arctan(1/239) (11)
Leonard Euler [1707--1783], 1734
___ oo
\pi^2 1 1 1 1 \ 1
----- = --- + --- + --- + --- + ... = > --- (12)
6 1^2 2^2 3^2 4^2 /__ n=1 n^2
___ oo
\pi^4 1 1 1 1 \ 1
----- = --- + --- + --- + --- + ... = > --- (13)
90 1^4 2^4 3^4 4^4 /__ n=1 n^4
___ oo
\pi^6 1 1 1 1 \ 1
----- = --- + --- + --- + --- + ... = > --- (14)
945 1^6 2^6 3^6 4^6 /__ n=1 n^6
___ oo
\pi^8 1 1 1 1 \ 1
----- = --- + --- + --- + --- + ... = > --- (15)
9450 1^8 2^8 3^8 4^8 /__ n=1 n^8
Leonard Euler [1707--1783], 1737
\pi 2
--- = 1 + ------------------- (16)
2 1*3
3 + ---------------
3*5
4 + -----------
5*7
4 + -------
4 + ...
Leonard Euler [1707--1783], 1748
\pi^2 ___ p^2
----- = | | ------- (17)
6 | | p^2 - 1
p prim
Johann Heinrich Lambert [1728--1777], 1770
4 1^2
--- = 1 + ------------------------- (18)
\pi 2^2
3 + ---------------------
3^2
5 + -----------------
4^2
7 + -------------
5^2
9 + ---------
6^2
11 + ----
...
Carl Friedrich Gauß [1777--1855]
\pi = 48 arctan(1/48) + 32 arctan(1/57) - 20 arctan(1/239) (19)
M. A. Stern, 1833
\pi 1
--- = 1 - ------------------------------- (20)
2 2*3
3 - ---------------------------
1*2
1 - -----------------------
4*5
3 - -------------------
3*4
1 - ---------------
6*7
3 - -----------
5*6
1 - -------
3 - ...
Carl Størmer, 1896
\pi = 24 arctan(1/8) + 8 arctan(1/57) + 4 arctan(1/239) (21)
Srinivasa Ramanujan [1887--1920], 1914
__ ___ oo
1 \/8 \ (4n)! 1103+26390n
--- = ---- > ------ * ----------- (22)
\pi 9801 /__ n=0 (n!)^4 396^(4n)
Eugene Salamin und Richard Brent (unabhängig voneinander), 1976
__
a(0) = 1, b(0) = 1/\/2 , s(0) = 1/2
a(n) = 1/2 (a(n-1) + b(n-1))
_______________
b(n) = \/a(n-1)*b(n-1)
c(n) = a(n)^2 - b(n)^2
s(n) = s(n-1) - 2^n c(n)
2a(n)^2
p(n) = ------- n = 1,2,3,... (23)
s(n)
p(n) konvergiert quadratisch gegen \pi.
Jonathan und Peter Borwein, 1984
_ _
a(0) = \/2, b(0) = 0, p(0) = 2 + \/2
1 ____ ____
a(n+1) = - (\/a(n) + 1/\/a(n))
2
___ b(n) + 1
b(n+1) = \/a(n) -----------
b(n) + a(n)
1 + a(n+1)
p(n+1) = p(n) b(n+1) ----------- (24)
1 + b(n+1)
p(n) konvergiert quadratisch gegen \pi.
David H. Bailey, 1987
___ oo
1 \ (-1)^n (6n)! A+nB
--- = 10 > ------------ * --------- (25)
\pi /__ n=0 (n!)^3 (3n)! C^(n+1/2)
__
mit A = 212,175,710,912 \/61 + 1,657,145,277,365
__
B = 13,773,980,892,672 \/61 + 107,578,229,802,750
__
C = (5280(236,674 + 30,303 \/61))^3
David H. Bailey, 1988
_ _
a(0) = 6 - 4\/2, y(0) = \/2 - 1
a(n+1) = a(n)(1+y(n+1))^4 - 8*4^n y(n+1) (1+y(n+1)+y(n+1)^2)
4 _________
1 - \/ 1-y(n)^4
y(n+1) = --------------- (26)
4 _________
1 + \/ 1-y(n)^4
a(n) konvergiert gegen 1/\pi. Dabei wächst bei jeder Iteration
die Anzahl der richtigen Stellen um den Faktor vier.
Grundlage von mehreren Rekordberechnungen der Stellen von \pi.
[Bailey D H 1988, Math. Comp., 50, 181, 283--296]
Borwein und Garvan, 1995
_ 3 __________
a(0) = 1/3, r(0) = (\/3 - 1)/2, s(0) = \/1 - r(0)^3
3 _________________________
t = 1 + 2 r(n) u = \/9 r(n)(1 + r(n) + r(n)^2)
v = t^2 + t u + u^2 m = 27 (1 + s(n) + s(n)^2)/v
(1 - r(n))^3 3 __________
s(n+1) = ------------ r(n+1) = \/1 - s(n)^3
(t + 2u)v
a(n+1) = m a(n) + 3^(2n-1) (1-m) (27)
a(n) konvergiert gegen 1/\pi. Dabei wächst bei jeder Iteration
die Anzahl der richtigen Stellen um den Faktor neun.
---
Die Transzendenz von \pi wurde 1882 von Ferdinand Lindemann
[1852--1939] nachgewiesen.
---
Repräsentation von Pi in Intel-Prozessoren:
\pi = 0.f * 2^2 mit f = C90FDAA2 2168C234 C
= 3.1415926535897932384585...
genauer Wert: !!!
3.1415926535897932384626...
---
"Zahlenmystik"
* An der 359. Stelle von \pi steht 360. Ein Kreis umfaßt 360 Grad.
* An der 7., der 22., der 113. und der 355. Stelle (die 3 vor dem
Komma mitgezählt) von \pi steht jeweils eine 2. 22/7 und 355/113
sind aber gute Approximationen für \pi.
[-> Monte Zerger: "The Magic of \pi"]
* Die folgenden Zahlen sind Primzahlen:
3
31
314159
31415926535897932384626433832795028841
Die ersten drei Zahlen kann man umkehren und erhält dann
wieder Primzahlen:
3
13
951413
......................................................................
* Die Zahl e
2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277...
Isaac Newton [1643--1727], 1665:
1 1 1 1
e = 1 + -- + -- + -- + -- + ...
1! 2! 3! 4!
Leonard Euler [1707--1783], 1737:
1
e = 2 + -----------------------
1
1 + -------------------
2
2 + ---------------
3
3 + -----------
4
4 + -------
5 + ...
---
x x
e = 1 + -----------------------
x
1 - -------------------
x
2 + ---------------
x
3 - -----------
x
2 + -------
5 - ...
1
e = 2 + -----------------------------------
1
1 + -------------------------------
1
2 + ---------------------------
1
1 + -----------------------
1
1 + -------------------
1
4 + ---------------
1
1 + -----------
1
1 + -------
6 + ...
---
Die Irrationalität von e wurde 1737 von Euler bewiesen.
---
Die Transzendenz von e wurde 1873 von Charles Hermite bewiesen.
1929 bewies Alexander Osipovich Gelfond die Transzendenz von e^\pi.
---
Leonard Euler zeigte, dass ((((x^x)^x)^x)^x)... gegen einen
Grenzwert strebt, falls x zwischen 1/(e^e) und e^(1/e) liegt.
---
Beste rationale Approximation für e mit Hilfe von ganzen Zahlen unter
1000: 878/323 = 2.718266254...
---
Zahlen, von denen nicht bekannt ist, ob sie algebraisch oder
transzendent sind:
e+\pi = 5.859874482...
e*\pi = 8.539734223...
e^e = 15.15426224...
\pi^e = 22.45915772...
......................................................................
* Goldener Schnitt
1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227...
_____________________________________
/ ______________________________
/ / _______________________
/ / / ________________
/ / / / _________
t = \/ 1 + \/ 1 + \/ 1 + \/ 1 + \/ 1 + ...
1 1 1
- = ------------------- t = 1 + -------------------
t 1 1
1 + --------------- 1 + ---------------
1 1
1 + ----------- 1 + -----------
1 1
1 + ------- 1 + -------
1 + ... 1 + ...
__
1 + \/5
t = --------
2
......................................................................
* Fibonacci-Zahlen
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,...
(Leonardo von Pisa (Fibonacci) [ca. 1170--1250], italienischer
Mathematiker.)
Berechnung rekursiv:
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-2) + F(n-1) für n > 1
Berechnung aus einer Matrix:
( F(n-2) F(n-1) ) ( 0 1 )^n
( ) = ( )
( F(n-1) F(n) ) ( 1 1 )
Generierende Funktion:
x 2 3 4 5
------- = 1x + 1x + 2x + 3x + 5x + ...
1-x-x^2
Die Paare aufeinanderfolgender Fibonacci-Nummern, also (0,1), (1,2),
(2,3) etc., sind Lösungen der Gleichung y^2 - yx + x^2 = ± 1.
Der französische Mathematiker Édouard Lucas [1842--1891] gab der
Fibonacci-Folge ihren Namen. Er entdeckte, dass das Verhältnis
zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen gegen den Goldenen
Schnitt konvergiert (dies gilt auch für "verallgemeinerte Fibonacci-
Folgen", die statt mit 0 und 1 mit zwei anderen ganzen Zahlen
beginnen):
F(n+1) __
lim ------ = 1/2 (1+\/5 ) = 1.61803...
n->oo F(n)
einige sonstige Eigenschaften:
F(n) = 1/2 ( F(n-2) + F(n+1) ) für n >= 2
F(0) + F(1) + F(2) + ... + F(n) = F(n+2) - 1 für n >= 0
F(0) - F(1) + F(2) - ... + (-1)^n F(n) = (-1)^n F(n-1) - 1
für n >= 1
F(1) + F(3) + F(5) + ... + F(2n-1) = F(2n) für n >= 1
F(0) + F(2) + F(4) + ... + F(2n) = F(2n+1) - 1 für n >= 0
F(0)^2 + F(1)^2 + F(2)^2 + ... + F(n)^2 = F(n)F(n+1) für n >= 0
F(1)F(2) + F(2)F(3) + F(3)F(4) + ... + F(2n-1)F(2n) = F(2n)^2
für n >= 1
gcd(F(n),F(m)) = F(gcd(n,m))
___ floor(n/2)
\
F(n+1) = > C(n-k,k) für n >= 0
/__ k=0
Tribonacci-Zahlen:
T(0) = 0, T(1) = 0, T(2) = 1
T(n) = T(n-3) + T(n-2) + T(n-1) für n > 2
Aufeinander folgende Zahlen konvergieren gegen 1.83929..., einer
Lösung von x^4 - 2x^3 + 1 = 0.
Tetranacci-Zahlen:
T(0) = 0, T(1) = 0, T(2) = 0, T(3) = 1
T(n) = T(n-4) + T(n-3) + T(n-2) + T(n-1) für n > 3
Aufeinander folgende Zahlen konvergieren gegen 1.92756...
So fortfahrend, lassen sich Pentanacci-Zahlen, Hexanacci-Zahlen
usw. konstruieren. Die Konstante, die sich als Grenzwert zweier
aufeinander folgender Zahlen ergibt, konvergiert dabei gegen 2.
;; [1] Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, 2000.
;; [2] K. Subba Rao: Some Properties of Fibonacci Numbers. The
;; American Mathematical Monthly 60(10), 1953, 680--684.
;; [3] Ivars Peterson: Stepping Beyond Fibonacci Numbers. Science
;; News 162(13), 2002 (Online)
......................................................................
* Khintchine-Konstante
Jede irrationale Zahl x im Intervall (0,1) lässt sich auf eindeutige
Weise als Kettenbruch der Form
1
x = -------------------
1
a1 + --------------
1
a2 + ---------
a3 + ...
darstellen, wobei alle ai positive ganze Zahlen sind.
Kurzschreibweise: x = [a1, a2, a3, ...].
Khintchine bewies, dass das geometrische Mittel
n __________
lim \/a1a2...an
n->oo
existiert und für beinahe alle x die _gleiche_ Konstante K_0 ist.
Der numerische Wert ist
K_0 = 2.6854520010653064453097148354817956938203822...
[Khintchine A 1964, Continued Fractions, Chicago University Press]
----------------------------------------------------------------------
Trigonometrische und hyperbolische Funktionen
-----------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------
0° 30° 45° 60° 90°
-----------------------------------------------
_ _
sin(x) 0 1/2 \/2/2 \/3/2 1
_ _
cos(x) 1 \/3/2 \/2/2 1/2 0
_ _
tan(x) 0 1/\/3 1 \/3 oo
_ _
cot(x) oo \/3 1 1/\/3 0
-----------------------------------------------
Winkel und Komplementärwinkel 90°-x:
sin(x) = cos(90°-x) = -sin(x+180°)
cos(x) = sin(90°-x) = -cos(x+180°)
tan(x) = cot(90°-x) = tan(x+180°)
cot(x) = tan(90°-x) = cot(x+180°)
----
n
(cos(x) + i sin(x)) = cos(nx) + i sin(nx)
n +/-nx
(cosh(x)+/-sinh(x)) = sinh(nx) +/- cosh(nx) = e
2 2
sin (x) + cos (x) = 1
2 2
cosh (x) = 1 + sinh (x) = 1/2 (cosh(2x)+1)
1 ix -ix 1 ix -ix
sin(x) = -- (e - e ) cos(x) = - (e + e )
2i 2
sin(x) 1 cos(x) 1
tan(x) = ------ = ------ cot(x) = ------ = ------
cos(x) cot(x) sin(x) tan(x)
1 x -x
sinh(x) = - (e - e ) = -i sin(ix)
2
1 x -x
cosh(x) = - (e + e ) = cos(ix)
2
sinh(x) 1 e^(2x)-1 1
tanh(x) = ------- = ------- = -------- = - tan(ix)
cosh(x) coth(x) e^(2x)+1 i
Additionstheoreme:
sin(x+/-y) = sin(x)cos(y)+/-cos(x)sin(y)
cos(x+/-y) = cos(x)cos(y)-/+sin(x)sin(y)
sinh(x+/-y) = sinh(x)cosh(y)+/-cosh(x)sinh(y)
cosh(x+/-y) = cosh(x)cosh(y)+/-sinh(x)sinh(y)
tan(x)+/-tan(y)
tan(x+/-y) = ----------------
1-/+tan(x)tan(y)
cot(x)cot(y)-/+1
cot(x+/-y) = ----------------
cot(y)+/-cot(x)
tanh(x)+/-tanh(y)
tanh(x+/-y) = ------------------
1+/-tanh(x)tanh(y)
Ganzes Vielfaches im Argument:
sin(2x) = 2sin(x)cos(x) sin(3x) = 3sin(x)-4sin^3(x)
cos(2x) = 2cos^2(x)-1 cos(3x) = 4cos^3(x)-3cos(x)
2tan(x) 3tan(x)-tan^3(x)
tan(2x) = ---------- tan(3x) = ----------------
1-tan^2(x) 1-3tan^2(x)
cot^2(x)-1 cot^3(x)-3cot(x)
cot(2x) = ---------- cot(3x) = ----------------
2cot(x) 3cot^2(x)-1
sinh(2x) = 2sinh(x)cosh(x) cosh(2x) = 2cosh^2(x)-1
Addition und Subtraktion von Funktionen mit gleichem Argument:
__ __
cos(x)+/-sin(x) = \/2 sin(45°+/-x) = \/2 cos(45°-/+x)
2
cot(x)+tan(x) = ------- cot(x)-tan(x) = 2cot(2x)
sin(2x)
Addition und Subtraktion von gleichartigen Funktionen:
x+/-y x-/+y
sin(x)+/-sin(y) = 2sin(-----)cos(-----)
2 2
sin(x+/-y)
tan(x)+/-tan(y) = ------------
cos(x)cos(y)
Produkte von Funktionen, höhere Potenzen:
sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y)-cos(x+y))
cos(x)sin(y) = 1/2 (sin(x+y)-sin(x-y))
cos(x)cos(y) = 1/2 (cos(x+y)+cos(x-y))
cos(x-y)-cos(x+y) tan(x)+tan(y)
tan(x)tan(y) = ----------------- = -------------
cos(x-y)+cos(x+y) cot(x)+cot(y)
sin(x+y)+sin(x-y) tan(x)+cot(y)
tan(x)cot(y) = ----------------- = -------------
sin(x+y)-sin(x-y) cot(x)+tan(y)
cos(x-y)+cos(x+y) cot(x)+cot(y)
cot(x)cot(y) = ----------------- = -------------
cos(x-y)-cos(x+y) tan(x)+tan(y)
2 1-cos(2x) 2 1+cos(2x)
sin (x) = --------- cos (x) = ---------
2 2
3 3sin(x)-sin(3x) 3 3cos(x)+cos(3x)
sin (x) = --------------- cos (x) = ---------------
4 4
4 3-4cos(2x)+cos(4x) 4 3+4cos(2x)+cos(4x)
sin (x) = ------------------ cos (x) = ------------------
8 8
-----------------------------------------------------------------
;; Gradstein/Ryshnik: Tafeln. Harri Deutsch, 1981. -- u.a.
Reihenentwicklungen
------------------------------------------------------------------
sin(x)
3 5 7 9 11 ___ oo 2k+1
x x x x x \ k x
x - -- + -- - -- + -- - --- +/- ... = > (-1) -------
3! 5! 7! 9! 11! /__ k=0 (2k+1)!
cos(x)
2 4 6 8 10 ___ oo 2k
x x x x x \ k x
1 - -- + -- - -- + -- - --- +/- ... = > (-1) -----
2! 4! 6! 8! 10! /__ k=0 (2k)!
sinh(x)
3 5 7 9 11 ___ oo 2k+1
x x x x x \ x
x + -- + -- + -- + -- + --- + ... = > -------
3! 5! 7! 9! 11! /__ k=0 (2k+1)!
cosh(x)
2 4 6 8 10 ___ oo 2k
x x x x x \ x
1 + -- + -- + -- + -- + --- + ... = > -----
2! 4! 6! 8! 10! /__ k=0 (2k)!
e^x
2 3 4 5 ___ oo k
x x x x \ x
1 + x + -- + -- + -- + -- + ... = > --
2! 3! 4! 5! /__ k=0 k!
ln(1+x) für -1 < x <= 1
2 3 4 5 6 ___ oo k
x x x x x \ k+1 x
x - -- + -- - -- + -- - -- +/- ... = - > (-1) --
2 3 4 5 6 /__ k=1 k
ln(1-x) für -1 <= x < 1
2 3 4 5 6 ___ oo k
x x x x x \ x
-x - -- - -- - -- - -- - -- - ... = - > --
2 3 4 5 6 /__ k=1 k
------------------------------------------------------------------
Römische Zahlen
---------------------------------------------
Grundzeichen: Hilfszeichen:
I 1 V 5
X 10 L 50
C 100 D 500
M 1000
.............................................
I 1 XI 11 LXX 70
II 2 XII 12 LXXX 80
III 3 XIII 13 XC 90
IV 4 : : XCVIII 98
V 5 XIX 19 IC 99
VI 6 XX 20 C 100
VII 7 XXX 30 CX 110
VIII 8 XL 40 CC 200
IX 9 L 50 IM 999
X 10 LX 60 M 1000
---------------------------------------------
Steht das Zeichen einer kleineren Zahl links,
so ist die entsprechende Zahl zu subtrahieren
statt zu addieren. Es ist aber nicht gestattet,
mehrere Grundzeichen oder ein Hilfszeichen
voranzustellen.
Game of Life
----------------------------------------------------------------------
Erfunden 1968 von John Horton Conway.
Regeln: Jede Zelle besitzt zwei mögliche Zustände; die Nachbarschaft
besteht aus den acht nächsten Zellen, einschließlich der diagonal
gelegenen (Moore-Umgebung). Eine lebende Zelle überlebt in der
nächsten Generation nur dann, wenn sie zwei oder drei lebende
Nachbarn hat. Sind es weniger, stirbt sie an Vereinsamung. Bei mehr
Nachbarn fällt sie der Überbevölkerung zum Opfer. Eine tote Zelle
wird immer dann zum Leben erweckt, wenn sie genau drei lebendige
Nachbarn hat.
Berechnung: Eine Möglichkeit, den Zustand einer Zelle zu berechnen,
stammt von Ezra Gottheil von der Firma Lotus. Das Verfahren besteht
darin, den Wert der zu untersuchenden Zelle mit 9 zu multiplizieren
(was entweder 0 oder 9 ergibt), die Wert der Nachbarzellen zu
addieren und dann in einer kleinen Tabelle, die für jede Summe
zwischen 0 und 17 den neuen Zustand der Zelle angibt, das Ergebnis
nachzuschauen.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Summe
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 nächster Zustand
Oszillatoren
.....................................................................
.....OO...............................................OOOOOOOOOO.....
.....O.O.........OO...........O.........OOO..........................
.................OO...........O.O........OOO.........................
.......O.O.........OO........O.O......................OOOOO.OOOOO....
...................OO..........O.....................................
.........O.O.........................................................
.............................................OO..........OOO.........
...........O.O...............O...............OO......................
.....O.......................O.......................................
... O.O......O.O.............O...............OOOO...............O....
...O...O....................................O....O.OO.........OOO....
....O...O......O.O.......OOO...OOO..........O....O.OO........O.......
.....O...O...............................OO.O....O...........OO......
......O...O......O.O.........O...........OO.O....O...................
.......O.O........OO.........O...............OOOO..........OO........
........O....................O..............................O........
...............................................OO........OOO.........
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......................OOOOOO.OO......................................
......O...............OOOOOO.OO..............................OO......
......O.O....................OO...........OO.OO.............O..O.....
....O.................OO.....OO...........OO.OO............O....O....
.........OO...........OO.....OO............O.O............O......O...
...OO.................OO.....OO..........O.O.O.O..........O......O...
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.....O.O..............OO.OOOOOO..........OO...OO............O..O.....
.......O..............OO.OOOOOO..............................OO......
.....................................................................
Gleiterkanone mit Pentadekathlon
.....................................................................
.........................O...........................................
......................OOOO....O......................................
.............O.......OOOO.....O......................................
............O.O......O..O.........OO.................................
...........O...OO....OOOO.........OO.................................
OO.........O...OO.....OOOO...........................................
OO.........O...OO........O...........................................
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.....................................................................
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.............................................................O....O..
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Olaf Gerstung, 2008-02-25
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